Η Σημείωση στο Περιθώριο: Πώς ο Φερμά Εμπνεύστηκε από τον Διόφαντο

19/07/2025

Ioannis Baroumas

Σχεδόν κάθε μαθηματικός έχει ακούσει αυτή τη φράση του Φερμά σε κάποια παραλλαγή της: «Έχω ανακαλύψει μια θαυμάσια απόδειξη για αυτό, την οποία όμως το περιθώριο αυτό είναι πολύ στενό για να την χωρέσει». Λιγότεροι όμως, ίσως, έχουν αναρωτηθεί: πού ακριβώς τη σημείωσε ο Φερμά; Ποιο ήταν το κείμενο που διάβαζε όταν το χέρι του σταμάτησε στο περιθώριο;

Η απάντηση βρίσκεται πίσω στον χρόνο, πολύ μακριά από τη Γαλλία του 17ου αιώνα, στις αλεξανδρινές καταβολές της άλγεβρας. Ο Φερμά δεν έγραφε τις σημειώσεις του σε κάποιο τυχαίο χαρτί, αλλά στο περιθώριο ενός αρχαίου ελληνικού κειμένου: στα «Αριθμητικά» του Διοφάντου της Αλεξάνδρειας.

Ο Διόφαντος: Ο Πρωτοπόρος της Αλγεβρικής Σκέψης

Πριν εμβαθύνουμε στη σημείωση του Φερμά, ας γνωρίσουμε τον «οικοδεσπότη» του περιθωρίου: τον Διόφαντο της Αλεξάνδρειας. Ο Διόφαντος, που έζησε πιθανώς τον 3ο αιώνα μ.Χ., ήταν ένας μαθηματικός που ξεχώριζε δραστικά από τους συγχρόνους του. Ενώ η κυρίαρχη μαθηματική παράδοση στην αρχαία Ελλάδα ήταν η γεωμετρία (σκεφτείτε τον Ευκλείδη και τον Πυθαγόρα), ο Διόφαντος αφοσιώθηκε σε ένα διαφορετικό είδος προβλημάτων: την επίλυση εξισώσεων με άγνωστους αριθμούς.

Το έργο του, «Αριθμητικά», αποτελείται από μια σειρά προβλημάτων και των λύσεών τους, και θεωρείται ένα από τα πρώτα συστηματικά κείμενα στην ιστορία της άλγεβρας. Ο Διόφαντος χρησιμοποιούσε μια πρωτόγονη μορφή συμβολισμού, όχι τόσο αναπτυγμένη όσο η σημερινή μας άλγεβρα, αλλά σαφώς πέρα από την καθαρά ρητορική (λεκτική) περιγραφή των προβλημάτων. Αναζητούσε συχνά ρητές λύσεις, δηλαδή λύσεις που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα ακεραίων αριθμών.

Εξώφυλλο έκδοσης του 1670 των «Αριθμητικών» του Διόφαντου. Το έργο αυτό αποτέλεσε πηγή έμπνευσης για γενιές μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένου του Φερμά.

Το Πρόβλημα που Ενέπνευσε τον Φερμά: $x^2 + y^2 = z^2$

Το ακριβές σημείο που διάβαζε ο Φερμά ήταν το Πρόβλημα 8 του Βιβλίου ΙΙ των «Αριθμητικών». Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε την σελίδα από την έκδοση του 1670 την οποία μελετούσε ο Φερμά

Η σελίδα με το Πρόβλημα 8 από τα «Αριθμητικά» του Διόφαντου

Λόγω της ποιότητας και της γραμματοσειράς είναι δύσκολο να καταλάβουμε το ελληνικό κείμενο. Χρησιμοποιώντας τη δυνατότητα που προσφέρει η πλατφόρμα StoicDocs, για μετατροπή χειρόγραφων σε $LaTeX$, παίρνουμε το παρακάτω αποτέλεσμα:

Η σελίδα με το Πρόβλημα 8 από τα «Αριθμητικά» του Διόφαντου σε LaTeX

Ζητάμε από τον PDF βοηθό του StoicDocs να μας δώσει μια απόδοση του αρχαίου κειμένου στα νέα ελληνικά και με όρους σημερινής άλγεβρας:

Απόδοση του προβλήματος σε νέα Ελληνικά

Πλέον μπορούμε να καταλάβουμε πλήρως αυτό το ιστορικό πρόβλημα που ενέπνευσε τον Φερμά να κάνει την γνωστή εικασία του:

Το Πρόβλημα: Διάσπαση του 16 σε Δύο Τετράγωνα

Ο Διόφαντος θέτει το εξής πρόβλημα: «Πρέπει να διαιρέσουμε έναν δοσμένο τετράγωνο αριθμό σε δύο άλλους τετράγωνους αριθμούς». Στη συγκεκριμένη περίπτωση, μας ζητά να διαιρέσουμε τον αριθμό 16 σε δύο τετράγωνα. Στη σύγχρονη γλώσσα, ψάχνουμε για δύο αριθμούς, ας πούμε x και y, τέτοιους ώστε $x^2 + y^2 = 16$

Ο πυρήνας της μεθόδου του Διοφάντου είναι μια πολύ έξυπνη κίνηση: η επιλογή του τρόπου με τον οποίο εκφράζει τους αγνώστους. Αυτή η επιλογή μετατρέπει ένα φαινομενικά δύσκολο πρόβλημα σε μια απλή, επιλύσιμη εξίσωση.

Η λύση του Διόφαντου αποτελεί χαρακτηριστικό δείγμα της μεθόδου του:

1. Θέτει τον πρώτο τετράγωνο ως $N^2$ (όπου $N$ είναι ένας άγνωστος αριθμός, η «πλευρά» του τετραγώνου).
2. Αυτό σημαίνει ότι ο δεύτερος τετράγωνος πρέπει να είναι $16 - N^2$.
3. Το κλειδί της διοφαντικής λογικής είναι η «έξυπνη» επιλογή της πλευράς του δεύτερου τετραγώνου. Αντί να αφήσει το $16 - N^2$ ως έχει, ο Διόφαντος θέτει την πλευρά του δεύτερου τετραγώνου ως μια γραμμική έκφραση που σχετίζεται με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου (το $\sqrt{16}=4$) και τον άγνωστο $N$. Επιλέγει την πλευρά να είναι $(2N - 4)$.
4. Υψώνοντας στο τετράγωνο αυτή την έκφραση παίρνουμε: $(2N - 4)^2 = 4N^2 - 16N + 16$.
5. Τώρα, εξισώνει αυτό το αποτέλεσμα με το $16 - N^2$: $4N^2 - 16N + 16 = 16 - N^2$
6. Με απλές αλγεβρικές πράξεις (προσθέτοντας $N^2$ και αφαιρώντας $16$ και από τα δύο μέλη), η εξίσωση απλοποιείται σε: $5N^2 - 16N = 0$ ή $N(5N - 16) = 0$
7. Από εδώ, βρίσκουμε $N = \frac{16}{5}$ (η λύση $N=0$ απορρίπτεται ως τετριμμένη).

Με $N = \frac{16}{5}$, οι δύο τετράγωνοι αριθμοί είναι:

• Ο πρώτος: $N^2 = \left(\frac{16}{5}\right)^2 = \frac{256}{25}$
• Ο δεύτερος: $(2N - 4)^2 = \left(2 \cdot \frac{16}{5} - 4\right)^2 = \left(\frac{32}{5} - \frac{20}{5}\right)^2 = \left(\frac{12}{5}\right)^2 = \frac{144}{25}$

Και πράγματι: $\frac{256}{25} + \frac{144}{25} = \frac{400}{25} = 16$. Το πρόβλημα λύθηκε με ρητούς αριθμούς.

Η Έμπνευση του Φερμά

Ο Διόφαντος, με την «Αριθμητική» του, μας έδειξε πώς να βρίσκουμε ρητές λύσεις για την εξίσωση $x^2 + y^2 = z^2$. Αυτό το πρόβλημα, όπως είδαμε, επιλύεται κομψά. Για τον Φερμά, ωστόσο, αυτή η λύση δεν ήταν το τέλος, αλλά ένα σημείο εκκίνησης.

Εκεί, σε αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα της διάσπασης ενός τετραγώνου σε δύο άλλα, ο Φερμά πιθανότατα αναρωτήθηκε: Τι θα γινόταν αν προσπαθούσαμε να κάνουμε το ίδιο για κύβους, ή ακόμα και για τέταρτες δυνάμεις, ή οποιαδήποτε άλλη μεγαλύτερη δύναμη; Στην προσπάθειά του να «σπάσει» τέτοιους αριθμούς (κάτι που, όπως αποδείχτηκε, είναι αδύνατο για ρητές λύσεις), το χέρι του σταμάτησε στο περιθώριο του βιβλίου του Διοφάντου και έγραψε τις λέξεις που θα βασάνιζαν τους μαθηματικούς για αιώνες:

«Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.»

σε νέα Ελληνικά:

«Είναι αδύνατο να διαιρεθεί ένας κύβος σε δύο κύβους, μια τέταρτη δύναμη σε δύο τέταρτες δυνάμεις, ή γενικότερα οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του τετραγώνου σε δύο όμοιες δυνάμεις. Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη γι’ αυτό, αλλά το περιθώριο είναι υπερβολικά στενό για να τη χωρέσει.»

Ένα Περιθώριο που Έγραψε Ιστορία

Η σύντομη σημείωση του Φερμά, γραμμένη στο περιθώριο ενός αρχαίου έργου, υπενθυμίζει πώς μια φαινομενικά μικρή παρατήρηση μπορεί να προκαλέσει αιώνια μαθηματική αναζήτηση. Από τον Διόφαντο μέχρι τους μαθηματικούς του 20ού αιώνα, αυτή η πρόκληση πέρασε μέσα από γενιές, αλλάζοντας όχι μόνο τα μαθηματικά, αλλά και την ίδια την κατανόησή μας για το τι σημαίνει «απόδειξη». Μερικές φορές, οι πιο μεγάλες ιστορίες ξεκινούν από τα πιο απίθανα σημεία.

Η ίδια τεχνολογία που μας επέτρεψε να αναλύσουμε ένα κείμενο του 3ου αιώνα σε αυτό το άρθρο, μπορεί να κάνει το ίδιο και για τις δικές σας σημειώσεις. Αν έχετε χειρόγραφες σημειώσεις μαθηματικών ή οποιοδήποτε έγγραφο που θέλετε να ψηφιοποιήσετε και να μετατρέψετε σε LaTeX, δοκιμάστε το StoicDocs

Πηγές και περαιτέρω ανάγνωση

• Fermat’s Last Theorem FAQ (University of Waterloo)
• Fermat’s Last Theorem — Wikipedia